Moti centrali — Orbite ellittiche

Riepilogo teorico

I moti centrali sono quei moti di un punto materiale soggetto a una forza il cui vettore è sempre diretto verso (o allontanante) un punto fisso, detto centro. Nel caso di attrazione proporzionale a 1/r^2 (forza di tipo newtoniano) le orbite legate sono coniche; in particolare, per energia negativa l'orbita è un'ellisse con il centro di forza su uno dei fuochi.

Concetti chiave:

• Momento angolare: si conserva, L = m r x v, per forze centrali. Questo implica la conservazione della velocità areolare (legge delle aree di Keplero).
• Velocità areolare: l'area spazzata dal raggio vettore per unità di tempo è costante; di conseguenza la velocità angolare non è costante lungo l'ellisse: il corpo va più veloce vicino al pericentro e più lento al apocentro.
• Equazioni dell'ellisse: in coordinate polari rispetto al fuoco, la distanza r(θ) si esprime come r(θ) = a(1-e^2) / (1 + e cos θ), dove a è il semiasse maggiore ed e l'eccentricità (0 ≤ e < 1 per ellisse).
• Parametrizzazione Kepleriana: si introduce l'anomalia media M = n t (con n = 2π / T), si risolve l'equazione di Keplero M = E - e sin E per l'anomalia eccentrica E, e quindi si ottengono le coordinate del punto: x = a(cos E - e), y = b sin E con b = a sqrt(1 - e^2).

Questa pagina mostra anche una simulazione interattiva che esegue la soluzione numerica dell'equazione di Keplero per ottenere il moto corretto che rispetta la seconda legge di Keplero.

Simulazione