Analisi Polinomiale

Esempi rapidi

Polinomi di esempio

Configurazione

Grado del polinomio

n =

Inserisci un grado da 1 a 10, poi genera i campi.

Coefficienti

Inserisci i coefficienti

P(x) = a_nxⁿ + … + a₁x + a₀ · Il coefficiente a_n non può essere zero.

Risultati

Analisi completa

Polinomio inserito

Trasformazioni Polinomiali

Radici Opposte

P(−x)

Radici Scalate di 2

2ⁿ · P(x/2)

Radici Aumentate di 1

P(x − 1)

Radici Reciproche

xⁿ · P(1/x)

Polinomio Primitivo

P / gcd(P)

Polinomio Monico

P / a_n

Polinomio Depresso

x = y − a_n-1/(n·a_n)

Zeri e molteplicità

Radici razionali

Teorema delle radici razionali

Candidati testati: —

Frazioni primitive provate:

—

Calcolo degli zeri

Zeri complessi

—

Radici multiple

Radici multiple del polinomio

—

Segni degli Zeri

Regola di Cartesio

Numero max zeri reali

—

Positivi

—

Negativi

—

Totale

Positivi —

Negativi —

Il numero effettivo di zeri reali può differire per passi di 2.

Criterio di Routh

Parte reale degli zeri

Re(z) > 0

—

Re(z) ≤ 0

—

Stabilità: —

Prima colonna di Routh: —

riga	valori
—

Localizzazione degli Zeri

Criterio di Cauchy

Localizzazione degli zeri

Raggio min

—

r_min ≤ |zᵢ|

Raggio max

—

|zᵢ| ≤ r_max

Tutti gli zeri complessi si trovano nell'anello r_min ≤ |z| ≤ r_max.

Criterio di MacLaurin

Localizzazione modulare

Raggio min

—

Raggio max

—

Bound di Fujiwara: \(r_{\max}=2\max_{0\le k\lt n}|a_k/a_n|^{1/(n-k)}\); \(r_{\min}=\dfrac{1}{2\max_{1\le k\le n}|a_k/a_0|^{1/k}}\) (via polinomio reciproco).

Criterio di MacLaurin1

Localizzazione modulare

Bound min

—

Bound max

—

Bound McLaurin1: \(r_{max}=1+\max |a_k/a_n|\) sui coefficienti con segno opposto ad \(a_n\); \(r_{min}\) dal polinomio reciproco.

Criterio di MacLaurin2

Localizzazione modulare

Bound min

—

Bound max

—

Bound McLaurin2: \(r_{max}=1+\max(r_p,r_q)\), con \(q(x)=p(-x)\); \(r_{min}\) dal polinomio reciproco.

Criterio di Laguerre

Localizzazione reale

Raggio min

—

Raggio max

—

Bound di Laguerre: \(r_{\max}=\min\{s>0:\ q_s(x),r_s\ge 0\ \text{nella divisione di}\ p(x)\ \text{per}\ x-s\}\), \(r_{\min}=-\min\{s>0:\ q_s(x),r_s\ge 0\ \text{per}\ p(-x)\}\). Quindi ogni zero reale \(x\) soddisfa \(r_{\min}\le x\le r_{\max}\).

Successione di Sturm

Intervalli zeri reali

# zeri reali: —

Bound: —

—

Variazioni di segno: —

Costruzione della successione:

—

Regola usata ad ogni passo:

—

Relazioni sulle Radici

Formule di Newton-Girard

Somma delle potenze delle radici

\[ s_k - e_1 s_{k-1} + e_2 s_{k-2} - \cdots + (-1)^{k-1} e_{k-1}s_1 + (-1)^k k e_k = 0 \]

—

Formule di Viète

Polinomi simmetrici elementari

\[ e_k(r_1,\dots,r_n)=\sum_{1 \le i_1 < \cdots < i_k \le n} r_{i_1}\cdots r_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n},\quad k=1,\dots,n \]

—

Fattorizzazione

Lenstra - Lovasz

Fattorizzazione su \(\mathbb{Q}[x]\)

Stato: —

Contenuto: —

Polinomio primitivo: —

Parte square-free: —

Fattori individuati:

—

Residuo: —

Prodotto finale: —